STATISTIKA DESKRIPTIF

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Didalam kehidupan sehari-hari, sering kita jumpai banyak hal yang dapat kita deskripsikan dalam sebuah bentuk data. Informasi data yang diperoleh tentunya harus diolah terlebih dahulu menjadi sebuah data yang kita dapat dibaca dan dianalisa. Akan tetapi bagaimana penyajian data yang kita dapat tentunya berbeda-beda, sesuai dengan kebutuhan dan keinginan penyaji data. Statistika merupakan satu cabang penting dari aplikasi matematika, yang mulai berkembang di Indonesia sekitar tahun 1950-an.  Awal mulanya Statistika hanya dikaitkan dengan suatu metode  bagaimana orang menyajikan fakta-fakta dan angka tentang situasi dari perkembangan perekonomian, masalah Kependudukan negara, dan data ketenagakerjaan yang ada disuatu negara ; malah dalam arti sempit orang mengasumsi bahwa statistika identik dengan Tabel, Grafik atau sejenisnya.

Pada dasarnya Statistika deskriptif berusaha menjelaskan atau menggambarkan berbagai karakteristik data sehingga dengan mudah dapat dipahami tentang karakteristik data tersebut, dijelaskan dan berguna untuk keperluan selanjutnya seperti berapa rata-ratanya, seberapa jauh data-data yang bervarians dan sebagainya.

Data yang disajikan dalam statistika deskriptif biasanya dalam bentuk ukuran pemusatan data (mean, median, modus), ukuran penyebaran data (
standar deviasi, varians), tabel serta grafik (histogram). SPSS dan Minitab merupakan software yang akan digunakan pada proses pembuatan laporan guna membantu pengolahan data statistik. Data acak yang akan diolah dalam praktikum ini sebanyak 60 dan range yang digunakan yaitu 110-120.

B.     Identifikasi Masalah

1.      Penerapan statistika deskriptif dalam kehidupan sehari-hari.

2.      Menyusun data tunggal dan data kelompok.

3.      Pemakaian program komputasi (software) dalam pengolahan data statistik.

C.    Pembatasan Masalah

Agar penelitian lebih fokus dan tidak meluas dari pembahasan yang dimaksud, dalam laporan ini penulis membatasinya pada ruang lingkup penelitian sebagai berikut :

1.      Teori yang dibahas dalam modul  ini yaitu tentang Statistika Deskriptif.

2.      Dalam pengumpulan dan pengolahan data digunakan data acak sebanyak 60 sample.

3.      Dalam pengolahan data acak telah ditentukan yaitu, 110-120.

D.    Perumusan Masalah                                                              

Dalam penulisan laporan ini, penulis mencoba menguraikan sedikit rumusan permasalahan yang akan dibahas dari materi yang berkaitan dengan tema statistika deskriptif, yaitu :

1.      Bagaimana cara mengolah dan menganalisa data statistik deskriptif  secara manual maupun software yang tersedia?

2.      Bagaimana perbandingan hasil antara mengolah  data statistik secara manual dengan program komputasi (software) ?

3.      Bagaimana bentuk penyajian data statistik deskriptif agar mudah dimengerti ?

E.     Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari modul ini sebagai berikut :

1.      Memberikan informasi penyajian data.

2.      Mampu memahami proses hitung data statistik, menyusun tabel frekuensi dan membuat grafik baik secara manual maupun dengan menggunakan program komputasi (software) yang tersedia.

3.      Mampu memahami perbedaan data tunggal dan data kelompok.

F.     Sistematika Penulisan

Untuk mempermudah teman-teman mengerti akan maksud dan isi modul ini, maka disini mengadakan penggolongan secara garis besar sesuai dengan permasalahan yang akan dibahas yaitu :

BAB I PENDAHULUAN:

Dalam bab pendahuluan ini  mencoba menguraikan tentang Latar Belakang, Identifikasi Masalah, pembatasan Masalah, Rumusan Masalah, Tujuan dan Sistematika Penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI:

Dalam bab ini akan diuraikan mengenai teori dari materi yang dibahas serta pembahasan hasil analisa dalam menganalisa data tunggal, data tergolong, SPSS, dan minitab.

BAB III METODOLOGI PENELITIAN :

Dalam bab ini akan menjelaskan tentang flow chart pembahasan materi secara garis besar bagaimana langkah pemecahan masalah dengan menggunakan metidde yang digunakan.

BAB IV PENGOLAHAN DATA:

Dalam bab ini akan diuraikan tentang pengumpulan data, tata cara pengolahan data dalam bentuk data tunggal, data bergolong, SPSS, dan minitab.

BAB V ANALISA :

Dalam bab ini akan diuraikan tentang analisa mengenai perbandingan hasil data tunggal, data bergolong, SPSS, minitab.

BAB VI KESIMPULAN:

Dalam bab ini akan diuraikan tentang penutup meliputi kesimpulan berdasarkan tujuan .

DAFTAR PUSTAKA

Berisikan mengenai narasumber-narasumber yang didapat melalui media masa pencarian data yang diperoleh dari internet.

BAB II

LANDASAN TEORI

A.    PENGERTIAN STATISTKA DESKRIPTIF

Statistik Deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna. Dan analisa deskriptif bertujuan mengubah kumpulan data mentah menjadi mudah di pahami dalam bentuk informasi yang lebih ringkas. Statistik deskriptif merupakn bidang ilmu statistika yang memeprlajari cara-cara pengumpulan, penyusunan dan penyajian data suatu penelitian.

Data-datanya bisa diperoleh dari hasil sensus, survei atau pengamatan lainnya. Umumnya masih acak, harus diringkas dengan baik dan teratur, baik dalam bentuk tabel atau persentase grafis. Statistik deskriptif merupakan dasar pengambilan keputusan selanjutnya.

Sembarang ukuran yang menunujukkan pusat segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya dari terbesar sampai terkecil, disebut ukuran lokasi pusat atau ukuran pemusatan. Ukuran pemusatan yang paling banyak digunakan adalah nilai tengah, median dan modus.

1.      Mean

Mean adalah nilai rata-rata dari hasil observasi terhadap suatu variabel dan merupakan jumlah dari seluruh hasil observasi dibagi dengan jumlah observasinya, dan juga menyusun sebuah populasi terhingga berukuran N.

Rumus mean data tunggal:                 x = ∑ x / n      

X    = nilai rata-rata observasi

∑ x = jumlah semua hasil observasi

N    = jumlah observasi

Jadi, jika semua pengamatan digandakan atau dibagi dengan suatu konstanta, data yang baru itu akan mempunyai mean yang sama dengan kelipatan konstanta dari mean yang semula.

Contoh :

6; 5; 5; 7; 7,5; 8;  6,5; 5,5; 6; 9

Dari data tersebut, ia dapat menentukan nilai rataan hitung, yaitu :

Jadi, nilai rataan hitungnya adalah 6,55.

Rumus mean data bergolong

Keterangan :

 = rata-rata hitung data berkelompok

fi =  frekuensi data kelas ke-i

xi = nilai tengah kelas ke-i

           

Contoh:

Sebanyak 21 orang pekerja dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Data tinggi badan dibuat dalam bentuk kelas-kelas interval. Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.

Hitunglah rata-rata tinggi badan pekerja !

Jawab:

Proses penghitungan rata-rata dibantu dengan menggunakan tabel di bawah ini.

Dari tabel di atas diperoleh

Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut.

2.      Modus

Modus mengganbarkan  nilai yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi terbanyak. Jika ada data: 5, 5, 6, 7, 2, 6, 5, 4, 1, 5. Modusnya merupakan angka 5.

Modus tidak selalu ada. Hal ini terjadi bila semua pengamatan mempunyai frekuensi terjadi yang sama. Untuk data tertentu, mungkin saja terdapat beberapa nilai dengan frekuensi tertinggi, dan dalam hal demikian kita mempunyai lebih dari satu modus. Untuk gugus data yang kecil manfaat modus hampir atau bahkan tidak ada sama sekali. Hanya dalam hal data yang banyak ukuran ini dapat diterapkan.

Modus data bergolong

Mo = modus

b = batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p = panjang kelas interval

b1 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

b2 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya

Contoh modus data bergolong :

Berikut ini adalah nilai statistik mahasiswa jurusan ekonomi sebuah universitas.

Berapakah modus nilai statistik mahasiswa tersebut?

Jawab:

Dari tabel di atas, kita bisa mengetahui bahwa modus terletak pada kelas interval keempat (66 – 70) karena kelas tersebut memiliki frekuensi terbanyak yaitu 27. Sebelum menghitung menggunakan rumus modus data berkelompok, terlebih dahulu kita harus mengetahui batas bawah kelas adalah 65,5, frekuensi kelas sebelumnya 14, frekuensi kelas sesudahnya 21. Panjang kelas interval sama dengan 5.

Dengan begitu bisa kita menghitung modus nilai statistik mahasiswa sebagai berikut.

3.      Median

Median mengukur nilai tengah dengan membagi jumlah observasi secara seimbang dari atas ke bawah atau merupakan persentil ke lima puluh. Jika ada urutan data : 4 5 6 6 6 6 7 8 8. Maka mediannya adalah 6. Selain itu, median merupakan segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau terbesar sampai terkecil adalah pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila banyaknya pengamatan itu ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila banyaknya pengamatan genap.

Median untuk jumlah data (n) ganjil

           

Median untuk jumlah data (n) genap

Keterangan:

Me = Median

n = jumlah data

x = nilai data

Contoh 1:

Lima orang anak menghitung jumlah kelereng yang dimilikinya, dari hasil penghitungan mereka diketahui jumlah kelereng mereka adalah sebagai berikut.

5, 6, 7, 3, 2

Median dari jumlah kelereng tersebut adalah?

Jawab:

Karena jumlah data adalah ganjil, maka penghitungan median menggunakan rumus median untuk data ganjil. Proses penghitungannya adalah sebagai berikut.

Dari rumus matematis di atas, diperoleh bahwa median adalah x3. Untuk mengetahui x3, maka data harus diurutkan terlebih dahulu. Hasil pengurutan data adalah sebagai berikut.

2, 3, 5, 6, 7

Dari hasil pengurutan dapat kita ketahui mediannya (x3) adalah 5.

Contoh 2:

Sepuluh orang siswa dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Hasil pengukuran tinggi badan kesepuluh siswa tersebut adalah sebagai berikut.

172, 167, 180, 171, 169, 160, 175, 173, 170, 165

Hitunglah median dari data tinggi badan siswa!

Jawab:

Karena jumlah data genap, maka penghitungan median menggunakan rumus median untuk data genap. Proses penghitungannya adalah sebagai berikut.

           

Untuk melanjutkan penghitungan, kita harus terlebih dahulu mengetahui nilai x5 dan x6. Kedua nilai data tersebut dapat diperoleh dengan mengurutkan semua data. Hasil pengurutan adalah sebagai berikut.

160, 165, 167, 169, 170, 171, 172, 173, 175, 180

Dari pengurutan tersebut diperoleh nilai x5 sama dengan 170 dan x6 sama dengan 171. Dengan demikian penghitungan median dapat dilanjutkan.

4.      Kuartil, Desil, dan Persentil

Masih ada beberapa ukuran lokasi lain yang menjelaskan data relatife terhadap keseluruhan data. Ukuran-ukuran tersebut yang sering disebut persentil, desil dan kuartil.

a.      Kuartil (Q)

1)      Kuartil Data Tunggal

Kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak dari data yang telah terurut yang masing-masing 25%. Kuartil ada tiga, yaitu Q₁ (kuartil bawah), Q₂ (kuartil tengah atau median) dan Q₃ (kuartil atas).

Contoh :

1. Tentukan kuartil-kuartil dari data: 1, 3, 6, 9, 14, 18, 21 

Jawab :

Jumlah data (n) = 7

maka nilai kuartil 1 adalah 

maka nilai kuartil 2 adalah 9

maka nilai kuartil 3 adalah 18

2)      Kuartil Data Berkelompok

Untuk data berkelompok, yang disajikan dalam bentuk table frekuensi, digunakan rumus sebagai berikut:

Tb = Tepi Bawah Kuartil ke-i

F   =  Jumlah frekuensi sebelum frekuensi kuartil ke-i. 

f    = Frekuensi kuartil ke-i. i = 1, 2, 3

n   = Jumlah seluruh frekuensi.

C  = panjang interval kelas.

Contoh :

Tentukan Simpangan Kuartil.Dari data berikut !  

Nilai	Frekuensi
57 --- 61	3
62 --- 66	5
67 --- 71	10
72 --- 76	12
77 – 81	10
82 – 86	8
Jumlah (n)	48

                      

                        Jawab :

       

Untuk menentukan Q1 kita perlu ¼ x 48 =12,jadi Q1 terletak pada

b=67-0,5 = 66,5                  p= 5;F =8 ;f = 10.

Nilai Q1 = 66,5+ 12 – 8 . 5

                                                                    10                    

                                                 = 66,5 + 2 = 68,5

Untuk menentukan Q3 kita perlu ¾  x 48 =36,jadi Q3    terletak pada 

 b=77-0,5 = 76,5                p= 5;F = 28;f = 10.

      

                                    Nilai Q3 =  76,5 + 36 – 28 . 5 

                                                                        10

                                    =  76,5 + 4 = 80,5

b.      Desil (D) 

1)      Desil Data Tunggal 

Kumpulan data yang dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama, maka diperoleh sembilan pembagi yang tiap pembagi dinamakan desil. Letak desil ke-I dapat ditentukan dengan rumus:

dengan i = 1, 2, . . . ,9 

2)      Desil Data Berkelompok

Data yang disajikan dalam bentuk table frekuensi dihitung dengan rumus berikut:

 

Keterangan: 

Tb = Tepi bawah desil ke-i. 

F = Jumlah frekuensi sebelum frekuensi kuartil ke-i. 

f = Frekuensi kuartil ke-i. i = 1, 2, 3,…,9 

n = Jumlah seluruh frekuensi. 

C = panjang interval kelas. 

c.       Persentil (P) 

a)      Persentil Data Tunggal 

Kumpulan data yang dibagi menjadi seratus bagian yang sama, maka diperoleh Sembilan puluh sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan persentil yaitu P1, P2, . . . P99.

Letak Persentil ke-I dapat ditentukan dengan rumus:

b)      Data Persentil Berkelompok

Persentil dari data yang disajikan dalam bentuk table distribusi frekuensi dihitung dengan rumus :

Keterangan: 

Tb = Tepi bawah persentil ke-i. 

F = Jumlah frekuensi sebelum frekuensi kuartil ke-i. 

f = Frekuensi kuartil ke-i. i = 1, 2, 3,…,99 

n = Jumlah seluruh frekuensi. 

C = panjang interval kelas. 

5.      VARIANS

Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Varians dapat dibedakan antara varians populasi dan varians sampel. Varians populasi (σ dibaca tho) adalah deviasi kuadrat dari setiap data terhadap rata-rata hitung semua data dalam populasi. Varians sampel adalah deviasi kuadrat dari setiap data rata-rata hitung terhadap semua data dalam sampel dimana sampel adalah bagian dari populasi.

                                                

                                               

 Varians memiliki kelemahan dimana nilai varians dalam bentuk kuadrad, seperti tahun kuadrat dalam hal tertentu lebih suit menginterpretasikannya dibandingkan dengan ukuran range yang merupakan selisih nilai tertinggi dan nilai terendah atau deviasi rata-rata yang merupakan rata-rata hitung selisih data dari rata-rata hitungnya. Oleh sebab itu, untuk memperoleh satuian yang sama dengan satuan data awal, maka dilakukan dengan mencari akar kuadrad dari varians populasi. Akar kuadrad dari varians populasi disebut standar deviasi.

6.      STANDAR DEVIASI

Standar deviasi disebut juga simpangan baku.  Seperti halnya varians, standar deviasi juga merupakan suatu ukuran dispersi atau variasi.  Standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang paling banyak dipakai.  Hal ini mungkin karena standar deviasi mempunyai satuan ukuran yang sama dengan satuan ukuran data asalnya.  Misalnya, bila satuan data asalnya adalah cm, maka satuan standar deviasinya juga cm.  Sebaliknya, varians memiliki satuan kuadrat dari data asalnya (misalnya cm²).  Simbol standar deviasi untuk populasi adalah σ (baca: sigma) dan untuk sampel adalah s.

Standar Deviasi Untuk Populasi

Standar Deviasi Untuk Sampel

Contoh data tunggal

Untuk mendapatkan nilai variansi dan standar deviasi dari contoh di atas dapat kita lihat pada penjelasan berikut ini:

Dari contoh tersebut diatas sudah jelas dari mana kita mendapatkan (xi – x)2 tersebut. Variansi yang akan kita pakai disini juga variansi sampel, karena data yang kita gunakan adalalah data sampel. Dari rumus diatas sudah jelas bagai mana kita dapat mendapatkan nilai tersebut. Jadi, Variansi: Sampel (s2) = 9.5 / 5 = 1.9. Varian sampel yang kita dapat yaitu: 1.9. dan Standar Deviasi (S) = √1.9 = 1.38.Varians dan Standar Deviasi data Kelompok.

Rumus varians dan standar deviasi untuk data kelompok adalah sebagai berikut

Contoh dari Varians dan Standar Deviasi untuk data berkelompok

Berikut merupakan nilai statistik dari 50 mahasiswa.

7.      KEMIRINGAN

Kemiringan (skewnes) merupakan derajat ketidaksimetrian (keasimetrian), atau dapat juga disefinisikan sebagai penyimpangan dari kesimetrian dari suaru distribusi. Jika suatu kurva frekuensi (polygon frekuensi yang terhaluskan) dari suatu distribusi memiliki ekor kurva yang lebih panjang ke arah sisi kanan dibandingkan ke arah sisi kiri dari nilai maksimum tengah, maka distribusi ini lebih dikenal dengan nama distribusi miring ke kanan atau memiliki kemiringan positif. Untuk kondisi sebaliknya, distibusi dikenal dengan distribusi miring ke kiri atau kemiringan negatif.

Gambar 1

Untuk distribusi miring, mean akan cendrung berada pada sisi yang sama dengan modus di ekor kurva yang lebih panjang (lihat gambar 1). Jadi ukuran kesimetrian dapat diperoleh dari selisih atau perbedaan nilai mean dan modus: mean – modus. Ukuran ini dapat dibuat menjadi ukuran tanpa dimensi atau satuan jika kita smembandingnya dengan suatu ukuran dispersi, seperti misalnya deviasi standar.

8.      KERUNCINGAN

Kurtosis/keruncingan adalah derajat kepuncakan suatu distribusi, biasanya diambil relatif  terhadap distribusi normal. Ukuran keruncingan adalah suatu besaran yang digunakan untuk menentukan apakah sekumpulan data derajat kepuncakan leptokutik (lancip), normal atau platikurtik (tumpul). Tingkat keruncingan suatu kurva (kurtosis) memiliki 3 jenis, yaitu :

Leptokurtis (puncak relative tinggi)

Mesokurtis (puncak normal)

Platikurtis (puncak relative rendah)